Uppgift 3

Sats från kursen säger att heltalslösningar kan bara vara delare till 8. Vi ser att ekvationen inte har några positiva rötter. Vi testar $x=-1$ och ser att det är en rot. Polynomdivision ger att vi kan faktorisera vänsterledet som \[ (x+1)(x^6+4x^3 +8). \] Vi sätter $t=x^3$ och får att den andra faktorn blir $t^2+4t+8$. Denna är noll om $t = -2 \pm 2i$. Alltså vill vi nu hitta en lösning till $x^3 = -2+2i$. Nu, omskrivning på polär form ger \[ -2+2i = \sqrt{8} e^{i \frac{3\pi}{4}}. \] En lösning till $x^3 = \sqrt{8} e^{i \frac{3\pi}{4}} $ ges då av \[ x= \sqrt{2} e^{i \frac{\pi}{4}} = \sqrt{2}(\cos \pi/4 + i \sin \pi/4) = 1+i. \] Så, $-1$ och $1+i$ är lösningar vi söker.