Uppgift 4

Binomialsatsen säger att \[ (x+y)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} x^k y^{n-k}. \] Om vi sätter $\alpha = \cos 10^\circ + i \sin 10^\circ$ så ger binomialsatsen att \[ \left(z^2+\frac{\alpha}{z}\right)^{10} = \sum_{k=0}^{10} \binom{10}{k} (z^2)^k \left(\frac{\alpha}{z}\right)^{10-k} = \sum_{k=0}^{10} \binom{10}{k} z^{3k-10} \alpha^{10-k}. \] Koefficienten för $z^2$ får man då $k=4$ då det gör att $z^{3k-10}=z^2$. Via De Moivres formel får vi därefter \[ \binom{10}{4} \alpha^{6} = \frac{10!}{4!6!} \left(\cos 10^\circ + i \sin 10^\circ\right)^6 = \frac{10\cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{4\cdot 3 \cdot 2} \left(\cos 60^\circ + i \sin 60^\circ\right). \] Detta förenklas nu till $210 (\frac12 + i\frac{\sqrt{3}}{2}) = 105 + 105\sqrt{3}i$.