Uppgift 2

Notera först att $x\ge 2$, annars är vänsterledet inte definierat. Uttrycken inuti absolutbeloppen byter tecken vid $x=102$ och $x=4$. Dessa brytpunkter ger oss tre fall.


Fall I: $2 \leq x < 4$: Vi får \[ (10-\sqrt{x-2}) + (4-x) \geq 10 \; \iff \; 4-x \geq \sqrt{x-2}. \] Båda sidor är positiva på intervallet, så denna olikhet är ekvivalent med \[ 16-8x+x^2 \geq x-2 \iff x^2-9x+18 \geq 0. \] Denna olikhet gäller om $x \leq 3$ eller $x\geq 6$, så i Fall I får vi $\boxed{2 \leq x \leq 3}$ som lösningar.


Fall II: $4 \leq x < 102$: Vi får \[ (10-\sqrt{x-2}) + x-4 \geq 10 \; \iff \; x-4 \geq \sqrt{x-2}. \] Kvadrerar vi nu, får vi precis samma olikhet som i Fall I, så $\boxed{6 \leq x < 102}$ är de lösningar som fås i Fall II.


Fall III: $102 \leq x$: Vi får \[ (\sqrt{x-2}-10) + x-4 \geq 10 \; \iff \; x-24 \geq - \sqrt{x-2}. \] Vänsterledet är alltid positivt om $x \geq 102$, och högerledet är alltid negativt. Alltså ger Fall III $\boxed{102 \leq x}$ som lösningsmängd.

Sammanfattningsvis, olikheten löses av $2 \leq x \leq 3$ eller $x \geq 6$.