Uppgift 3
(a)
Visa att $16^k = 16 \pmod{24}$ för alla heltal $k \geq 1$.
(b)
Förenkla det komplexa talet \[
\left( \cos \frac{\pi}{12} + i \sin \frac{\pi}{12} \right)^{16^{2025}}
\] och svara på rektangulär form.
Diskret matematik · 2025-11-26
Uppgift 3
Visa lösningDölj lösning
- Vi har att $16^2 \equiv_{24} 256 \equiv_{24} 16$. För $k \geq 1$ har vi därefter att \[
16^{k+1} \equiv_{24} 16^2 \cdot 16^{k-1} \equiv_{24} 16 \cdot 16^{k-1} \equiv_{24} 16^{k}.
\] Detta ger nu att $16, 16^2, 16^3, \dotsc,$ alla ger resten $16$, vid division med 24.
Alternativt, undersöker vi $16^k-16$, så är detta delbart med både $3$ och $8$, oavsett $k$. Detta ger delbarhet med 24. - Enligt (a) gäller $16^{2025} \equiv_{24} 16$, så $16^{2025} = 24N+16$ för något heltal $N$. Det komplexa talet vi är intresserade av skrivs om som \[ \left( e^{\frac{2i \pi}{24}} \right)^{24N + 16} = {\underbrace{\left( e^{2\pi i} \right)}_{=1}}^N \cdot \left( e^{\frac{32\pi i}{24}} \right) = e^{\frac{4\pi i}{3}}. \] Omskrivning på rektangulär form ger nu \[ e^{\frac{ 4\pi i}{3}}=\cos \frac{ 4\pi }{3}+ i \sin \frac{4 \pi }{3} = -\frac{1}{2} - i \frac{\sqrt{3}}{2}. \]