Diskret matematik · 2025-11-26

Uppgift 4

Per Alexandersson Kombinatorik Beräkning

Uppgift 4

Gerd har ett fönster med 9 krukor på rad: två amaryllisar, tre blomsterkrasse, tre clematis och en dillkruka.

(a)

På hur många sätt kan krukorna stå på rad i fönstret?

(b)

Amaryllis och clematis är giftiga och Gerds nyfikna pudel kan stå på soffan och komma åt de två krukor längst till vänster på fönsterbrädet. På hur många sätt kan Gerd arrangera sina blommor på rad, så att de två vänstra krukorna bara är blomsterkrasse eller dill?

Blommor av samma sort är identiska. Svaren ska anges som heltal eller produkter av heltal.

Visa lösningDölj lösning

Detta är samma som antalet permutationer av ordet aabbbcccd, så vi får \[ \frac{9!}{2!\cdot 3!\cdot 3!} = \frac{9\cdot 8 \cdot 7!}{2^3\cdot 3^2} = 7!. \]
De två vänstra krukorna kan vara bb, db eller bd. I första fallet, har vi 7 krukor kvar, aabcccd, vilket ger $\frac{7!}{2!3!} = 7\cdot 5 \cdot 4\cdot 3 = 420$.

Om de två vänstra är db eller bd, så kan övriga krukor placeras på $\frac{7!}{2!2!3!} = 210$. Totalt blir det då $420+2\cdot 210 = 840$ sätt.