Uppgift 4

Ekvationen är
$$ z^2-(4+2i)z+(3+2i)=0. $$
Diskriminanten är
$$ \Delta=(4+2i)^2-4(3+2i) =(16+16i+4i^2)-(12+8i)=8i. $$
Vi söker en kvadratrot till $8i$. Eftersom
$$ 8i=8e^{i\pi/2} $$
får vi
$$ \sqrt{8i}=\sqrt8\,e^{i\pi/4} =2\sqrt2\,\frac{1+i}{\sqrt2}=2(1+i). $$
Alltså
$$ z=\frac{4+2i\pm2(1+i)}2. $$
Med plustecknet blir $z_1=(6+4i)/2=3+2i$, och med minustecknet blir $z_2=2/2=1$. Svar: $z=3+2i$ eller $z=1$.