Uppgift 6

Vi ska visa att
$$ 3^n>2^n+10\qquad\text{för }n\ge3. $$
Basfall: för $n=3$ är $3^3=27$ och $2^3+10=18$, så påståendet är sant.

Antag att $3^k>2^k+10$ för något $k\ge3$. Då får vi
$$ 3^{k+1}=3\cdot3^k>3(2^k+10)=3\cdot2^k+30. $$
Vi vill visa att högerledet är större än $2^{k+1}+10$. Eftersom
$$ 3\cdot2^k=2^{k+1}+2^k $$
är
$$ 3\cdot2^k+30=2^{k+1}+2^k+30>2^{k+1}+10, $$
då $2^k\ge8$ för $k\ge3$. Alltså gäller påståendet för $k+1$, och därmed för alla $n\ge3$.