Uppgift 3
Polynom.
(a)
Visa att $x-1$ är en faktor i $p(x)=x^4-3x^3+x^2+3x-2$ och finn samtliga reella nollställen.
(b)
Bestäm ett reellt polynom $q(x)$ av lägsta möjliga grad som har nollställen i $x=2$ och $x=i$.
Diskret matematik · 2026-08-11
Uppgift 3
Visa lösningDölj lösning
(a) Först beräknar vi
$$
p(1)=1-3+1+3-2=0.
$$
Enligt faktorsatsen är därför $x-1$ en faktor. Polynomdivision ger
$$
p(x)=(x-1)(x^3-2x^2-x+2).
$$
Kubiken faktoriseras genom gruppering:
$$
\begin{aligned}
x^3-2x^2-x+2
&=x^2(x-2)-(x-2)\\
&=(x^2-1)(x-2)\\
&=(x-1)(x+1)(x-2).
\end{aligned}
$$
Alltså är
$$
p(x)=(x-1)^2(x+1)(x-2).
$$
De reella nollställena är därför $x=-1$, $x=1$ och $x=2$, där $x=1$ är ett dubbelt nollställe.
(b) Eftersom $q$ har reella koefficienter och $i$ är ett nollställe måste även det komplexkonjugerade talet $-i$ vara ett nollställe. Ett polynom av lägsta möjliga grad har därför faktorerna
$$
(x-2)(x-i)(x+i)=(x-2)(x^2+1).
$$
Vi kan alltså välja
$$
q(x)=(x-2)(x^2+1)=x^3-2x^2+x-2.
$$