Uppgift 4
Absolutbelopp.
(a)
Lös ekvationen $\lvert x-1\rvert+\lvert 2x+4\rvert=6$ för $x\in\mathbb{R}$.
(b)
Lös olikheten $\lvert 3x-2\rvert<5$.
Diskret matematik · 2026-08-11
Uppgift 4
Visa lösningDölj lösning
(a) Teckenbyten sker vid $x=-2$ och $x=1$. Vi behandlar tre intervall.
Om $x<-2$ är
$$
|x-1|+|2x+4|=(1-x)+(-2x-4)=-3x-3.
$$
Ekvationen $-3x-3=6$ ger $x=-3$, vilket ligger i intervallet.
Om $-2\le x<1$ är
$$
|x-1|+|2x+4|=(1-x)+(2x+4)=x+5.
$$
Ekvationen $x+5=6$ ger $x=1$. Detta är randpunkten; direkt insättning visar att $x=1$ uppfyller den ursprungliga ekvationen.
Om $x\ge1$ är
$$
|x-1|+|2x+4|=(x-1)+(2x+4)=3x+3.
$$
Ekvationen $3x+3=6$ ger $x=1$, vilket är tillåtet. Alltså är lösningarna $x=-3$ eller $x=1$.
(b) Definitionen av absolutbelopp ger
$$
-5<3x-2<5.
$$
Adderar vi $2$ i alla led får vi $-3<3x<7$, och division med $3$ ger
$$
-1<x<\frac73.
$$