Uppgift 6

(a) Vi visar med induktion att
$$ \sum_{k=1}^{n}(2k-1)=n^2 $$
för alla $n\ge1$.

Basfall: För $n=1$ är
$$ \sum_{k=1}^{1}(2k-1)=2\cdot1-1=1=1^2. $$
Påståendet gäller alltså för $n=1$.

Induktionsantagande: Antag att påståendet gäller för ett godtyckligt men fixerat heltal $n\ge1$, det vill säga
$$ \sum_{k=1}^{n}(2k-1)=n^2. $$

Induktionssteg: Då får vi
$$ \begin{aligned} \sum_{k=1}^{n+1}(2k-1) &=\sum_{k=1}^{n}(2k-1)+2(n+1)-1\\ &=n^2+2n+1\\ &=(n+1)^2, \end{aligned} $$
där induktionsantagandet användes i den andra raden. Alltså gäller påståendet även för $n+1$. Enligt induktionsprincipen gäller därför formeln för alla $n\ge1$.

(b) Det induktionsantagande som används ovan är: För ett godtyckligt men fixerat $n\ge1$ antar vi att
$$ \sum_{k=1}^{n}(2k-1)=n^2. $$
Detta antagande används sedan för att visa motsvarande formel för $n+1$.