Linjär algebra · 2024-01-04
Låt
$$ A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \end{pmatrix}. $$
Lös de tre (separata) matrisekvationerna
$$ A\mathbf{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \qquad A\mathbf{v} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \qquad A\mathbf{w} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}. $$
Beräkna vidare $A^{-1}$, eller motivera varför $A$ ej är inverterbar.
Vi skriver om de tre systemen i utökad matrisform, med en högerledskolumn för varje system, och Gausseliminerar samtidigt:
$$
\left(\begin{array}{ccc|ccc}
1&1&1&1&0&0\\
2&2&1&0&1&0\\
2&1&1&0&0&1
\end{array}\right)
\sim\cdots\sim
\left(\begin{array}{ccc|ccc}
1&0&0&-1&0&1\\
0&1&0&0&1&-1\\
0&0&1&2&-1&0
\end{array}\right).
$$
Därmed är lösningarna
$$
\mathbf u=\begin{pmatrix}-1\\0\\2\end{pmatrix},\qquad
\mathbf v=\begin{pmatrix}0\\1\\-1\end{pmatrix},\qquad
\mathbf w=\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}.
$$
Dessa vektorer är precis kolonnerna till $A^{-1}$. Om vi skriver de tre vektorekvationerna som en matrise ekvation får vi
$$
A\begin{pmatrix}\mathbf u&\mathbf v&\mathbf w\end{pmatrix}
=I.
$$
Alltså är $(\mathbf u\ \mathbf v\ \mathbf w)$ en högerinvers till $A$, och därmed den unika inversen. Svar:
$$
A^{-1}=\begin{pmatrix}-1&0&1\\0&1&-1\\2&-1&0\end{pmatrix}.
$$