Linjär algebra · 2024-01-04
Beräkna determinanten av matrisen
$$ \begin{pmatrix} 30 & 0 & 10 \\ 60 & 20 & 20 \\ 90 & 20 & 40 \end{pmatrix}. $$
Bestäm vidare volymen av parallellepipeden i $\mathbb{R}^3$ som spänns upp av de tre vektorerna $(3, 6, 9)$, $(1, 2, 4)$, $(0, 2, 2)$.
Vi börjar med att dra ut gemensamma faktorer ur kolonnerna:
$$
\det\begin{pmatrix}30&0&10\\60&20&20\\90&20&40\end{pmatrix}
=30\cdot20\cdot10
\det\begin{pmatrix}1&0&1\\2&1&2\\3&1&4\end{pmatrix}
=6000
\det\begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}
=6000.
$$
I det andra steget subtraheras en kopia av den första och andra raden från den tredje, och två kopior av den första raden från den andra; i det tredje steget används att matrisen är triangulär. Enligt resultatet från kursen är volymen av parallellepipeden som spänns upp av vektorerna lika med absolutbeloppet av determinanten
$$
\det\begin{pmatrix}3&1&0\\6&2&2\\9&4&2\end{pmatrix}.
$$
Denna är nästan samma som den ursprungliga determinanten, men med två kolonner ombytta och en faktor $10$ mindre i varje kolonn. Kolonnordningen påverkar endast determinanten genom tecknet, och de saknade faktorerna ger därför volymen
$$
\frac{6000}{10^3}=6.
$$
Svar: determinanten är $6000$ och volymen $6$.