Linjär algebra · 2024-01-04
Bestäm en ekvation på normalform för det plan i $\mathbb{R}^3$ som innehåller båda följande linjer:
$$ L_1 : (x, y, z) = (0, 5, 10) + t(12, 2, -1), \quad t \in \mathbb{R}, $$
$$ L_2 : (x, y, z) = (12, 9, 9) + s(0, 2, 0), \quad s \in \mathbb{R}. $$
Vi söker först skärningspunkten mellan linjerna. Insättningen
$$
(0,5,10)+t(12,2,-1)=(12,9,9)+s(0,2,0)
$$
är ekvivalent med $s=-1$ och $t=1$. Linjerna skär alltså varandra i punkten $(x,y,z)=(12,7,9)$.
Därefter söker vi planets normalvektor. Vi kan ta en vektor $\mathbf n$ som är ortogonal mot linjernas riktningsvektorer, till exempel
$$
\mathbf n=(12,2,-1)\times(0,2,0)=(2,0,24).
$$
En ekvation för planet är därför
$$
2(x-12)+24(z-9)=0
\Longleftrightarrow 2x+24z=240
\Longleftrightarrow x+12z=120.
$$
Svar: $x+12z=120$.