Uppgift 4
Bestäm avståndet mellan de två planen i $\mathbb{R}^3$ som har ekvationer $x - 2y + 2z = 1$ respektive $x - 2y + 2z = 10$, samt ange två punkter, en på vardera plan, som har detta avstånd mellan sig.
Linjär algebra · 2024-01-04
Uppgift 4
Visa lösningDölj lösning
Låt planen vara $\Pi_1$ och $\Pi_2$. Avståndet mellan planen ges av längden av en vektor mellan dem som är ortogonal mot båda. Vi väljer $\mathbf n=(1,-2,2)$ som normalvektor och söker den konstant $\lambda$ sådan att, för $(x,y,z)\in\Pi_1$, gäller $(x,y,z)+\lambda\mathbf n\in\Pi_2$. Detta gäller om och endast om
$$
\mathbf n\cdot((x,y,z)+\lambda\mathbf n)=10
\Longleftrightarrow \mathbf n\cdot(x,y,z)+\lambda\mathbf n\cdot\mathbf n=10
\Longleftrightarrow 1+9\lambda=10
\Longleftrightarrow\lambda=1.
$$
Alltså är avståndet
$$
\lVert\lambda\mathbf n\rVert=\lVert\mathbf n\rVert=3.
$$
För att hitta två punkter med detta avstånd väljer vi en godtycklig punkt $P=(1,0,0)$ på $\Pi_1$ och får enligt resonemanget ovan $Q=P+\mathbf n=(2,-2,2)$ på $\Pi_2$. Svar: avståndet är $3$, till exempel mellan punkterna $(1,0,0)$ och $(2,-2,2)$.