Linjär algebra · 2024-01-04
Betrakta följande två linjära avbildningar $\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$:
Bestäm matriserna relativt $\mathbb{R}^3$:s standardbas för $S$, för $R$ och för den sammansatta avbildningen $T$ som först utför $S$ på en vektor och sedan utför $R$ på resultatet.
För planet $S$ har vi normalvektorn $\mathbf n=(1,-2,1)$, och speglingen ges av
$$
S(\mathbf v)=\mathbf v-2\operatorname{proj}_{\mathbf n}\mathbf v.
$$
Om $\mathbf v=(a,b,c)$ blir
$$
S(\mathbf v)
=\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}
-2\frac{a-2b+c}{6}\begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix}
=\frac13\begin{pmatrix}2&2&-1\\2&-1&2\\-1&2&2\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}
=A_S\mathbf v.
$$
För $R$ gäller att avbildningen skickar $\mathbf e_1$ på $\mathbf e_1$, $\mathbf e_2$ på $\mathbf e_3$ och $\mathbf e_3$ på $-\mathbf e_2$. Den motsvarande standardmatrisen är därför
$$
A_R=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&-1\\0&1&0\end{pmatrix}.
$$
Sammansättningen har matrisen
$$
A_{RS}=A_RA_S
=\frac13\begin{pmatrix}2&2&-1\\1&-2&-2\\2&-1&2\end{pmatrix}.
$$
Svar:
$$
A_S=\frac13\begin{pmatrix}2&2&-1\\2&-1&2\\-1&2&2\end{pmatrix},\quad
A_R=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&-1\\0&1&0\end{pmatrix},\quad
A_{RS}=\frac13\begin{pmatrix}2&2&-1\\1&-2&-2\\2&-1&2\end{pmatrix}.
$$