Linjär algebra · 2024-01-04
Ange definitionen av att vektorer $\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \dots, \mathbf{v}_k \in \mathbb{R}^n$ är linjärt oberoende.
Anta att $\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_3$ är linjärt oberoende vektorer i $\mathbb{R}^n$. Måste de tre vektorerna $\mathbf{v}_1 + \mathbf{v}_2$, $\mathbf{v}_2 + \mathbf{v}_3$, $\mathbf{v}_1 + \mathbf{v}_3$ vara linjärt oberoende? Bevisa ditt svar.
(a) Vektorerna $\mathbf v_1,\mathbf v_2,\ldots,\mathbf v_k\in\mathbb R^n$ kallas linjärt oberoende om de enda skalärerna $\lambda_1,\ldots,\lambda_k\in\mathbb R$ som uppfyller
$$
\lambda_1\mathbf v_1+\cdots+\lambda_k\mathbf v_k=\mathbf0
$$
är $\lambda_1=\cdots=\lambda_k=0$.
(b) Vi undersöker för vilka $\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3\in\mathbb R$ det gäller att
$$
\lambda_1(\mathbf v_1+\mathbf v_2)+\lambda_2(\mathbf v_2+\mathbf v_3)+\lambda_3(\mathbf v_1+\mathbf v_3)=\mathbf0.
$$
Detta gäller om och endast om
$$
(\lambda_1+\lambda_3)\mathbf v_1+(\lambda_1+\lambda_2)\mathbf v_2+(\lambda_2+\lambda_3)\mathbf v_3=\mathbf0.
$$
Eftersom $\mathbf v_1,\mathbf v_2,\mathbf v_3$ är linjärt oberoende gäller detta om och endast om
$$
\lambda_1+\lambda_3=0,\qquad
\lambda_1+\lambda_2=0,\qquad
\lambda_2+\lambda_3=0.
$$
Lösningen till detta system, till exempel via substitution eller Gausseliminering, är $\lambda_1=\lambda_2=\lambda_3=0$. Alltså är $\mathbf v_1+\mathbf v_2$, $\mathbf v_2+\mathbf v_3$ och $\mathbf v_1+\mathbf v_3$ linjärt oberoende.