Linjär algebra · 2024-02-10
Lös följande ekvationssystem samt beräkna den angivna determinanten.
$$ \begin{cases} 5x - 2y - 4z = 52, \\ 4x - 2y - 4z = 32, \\ -5x + 5y + 10z = 20 \end{cases} \qquad\text{respektive}\qquad \det\begin{pmatrix} 5 & -2 & -4 \\ 2 & -1 & -2 \\ -5 & 5 & 10 \end{pmatrix}. $$
Vi utför Gausseliminering på den utökade koefficientmatrisen:
$$
\left(\begin{array}{ccc|c}
5&-2&-4&52\\
4&-2&-4&32\\
-5&5&10&20
\end{array}\right)
\sim\cdots\sim
\left(\begin{array}{ccc|c}
1&0&0&20\\
0&1&2&24\\
0&0&0&0
\end{array}\right).
$$
Därmed kan vi ta $z=t$ som fri variabel och läsa av den allmänna lösningen
$$
(x,y,z)=(20,24-2t,t),\qquad t\in\mathbb R.
$$
Enligt determinantreglerna gäller
$$
\left|\begin{matrix}5&-2&-4\\2&-1&-2\\-5&5&10\end{matrix}\right|
=\frac12
\left|\begin{matrix}5&-2&-4\\4&-2&-4\\-5&5&10\end{matrix}\right|.
$$
Matrisen i vänsterledet är koefficientmatrisen för systemet, som har oändligt många lösningar för det angivna högerledet. Eftersom systemet inte har en entydig lösning är determinanten $0$. Svar: $(x,y,z)=(20,24-2t,t)$ för $t\in\mathbb R$, och determinanten är $0$.