Uppgift 3
Bestäm arean av följande trianglar, som har hörn i de angivna punkterna:
$$ \Delta_1: \text{hörn i } (1, 2), (0, 8), (8, 2) \in \mathbb{R}^2; $$
$$ \Delta_2: \text{hörn i } (3, 0, 5), (0, 3, 5), (3, 3, 11) \in \mathbb{R}^3. $$
Linjär algebra · 2024-02-10
Uppgift 3
Visa lösningDölj lösning
(a) Triangeln $\Delta_1$ har hälften så stor area som parallellogrammen som spänns upp av
$$
(0,8)-(1,2)=(-1,6),\qquad (8,2)-(1,2)=(7,0).
$$
Parallellogrammens area är absolutbeloppet av determinanten
$$
\left|\begin{matrix}-1&7\\6&0\end{matrix}\right|=42.
$$
Triangelns area är alltså $21$.
(b) På samma sätt spänns parallellogrammen för $\Delta_2$ upp av
$$
\mathbf u=(0,3,5)-(3,0,5)=(-3,3,0),\qquad
\mathbf v=(3,3,11)-(3,0,5)=(0,3,6).
$$
Parallellogrammens area är längden av kryssprodukten:
$$
\mathbf u\times\mathbf v=\cdots=3(-6,-6,3).
$$
Triangelns area är därför
$$
\frac12\,3\sqrt{6^2+6^2+3^2}=\frac{27}{2}.
$$
Svar: $\operatorname{Area}(\Delta_1)=21$ och $\operatorname{Area}(\Delta_2)=27/2$.