Linjär algebra · 2024-02-10
Bestäm (det minsta) avståndet mellan linjen $L$ och planet $\Pi$ i $\mathbb{R}^3$ med följande ekvationer:
$$ L : (x, y, z) = (0, 4, 2) + t(2, 0, 1), \quad t \in \mathbb{R}, $$
$$ \Pi : (x, y, z) = (2, 2, -4) + r(2, 0, 1) + s(0, 1, -1), \quad r,s \in \mathbb{R}. $$
(Rita en bild.) De kortaste vektorerna mellan punkter på linjen och planet är ortogonala mot planet. De hittas genom att projicera på en normalvektor till $\Pi$ en godtycklig vektor mellan en punkt $Q$ på $L$ och en punkt $P_0$ på $\Pi$. Vi väljer $Q=(0,4,2)$ och $P_0=(2,2,-4)$, vilket ger
$$
\overrightarrow{P_0Q}=(-2,2,6).
$$
Som normalvektor till planet tar vi kryssprodukten
$$
\mathbf n=(2,0,1)\times(0,1,-1)=\cdots=(-1,2,2).
$$
Denna vektor har längd $\lVert\mathbf n\rVert=\sqrt{1^2+2^2+2^2}=3$. En vektor från en punkt $P$ på $\Pi$ till $Q$ som är ortogonal mot $\mathbf n$ ges av
$$
\overrightarrow{PQ}
=\operatorname{proj}_{\mathbf n}\overrightarrow{P_0Q}
=\frac{(-2,2,6)\cdot(-1,2,2)}{\lVert\mathbf n\rVert^2}\mathbf n
=\frac{18}{9}\mathbf n=2(-1,2,2).
$$
Det eftersökta avståndet är längden av denna vektor, alltså $2\cdot3=6$. Svar: avståndet är $6$.