Linjär algebra · 2024-02-10
Den linjära avbildningen $T$ har matrisen
$$ A = \frac{1}{25}\begin{pmatrix} 16 & -12 \\ -12 & 9 \end{pmatrix} $$
i planets standardbas. Låt $\mathbf{f}_1 = (3/5, 4/5)$ och $\mathbf{f}_2 = (-4/5, 3/5)$. Visa att $F = (\mathbf{f}_1, \mathbf{f}_2)$ är en ON-bas för planet, att matrisen för $T$ relativt denna bas är
$$ \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, $$
samt ge en geometrisk tolkning för avbildningen $T$.
Direkt beräkning av skalärprodukter ger
$$
\mathbf f_1\cdot\mathbf f_1
=\left(\frac35,\frac45\right)\cdot\left(\frac35,\frac45\right)=1
=\mathbf f_2\cdot\mathbf f_2
$$
och
$$
\mathbf f_1\cdot\mathbf f_2
=\left(\frac35,\frac45\right)\cdot\left(-\frac45,\frac35\right)=0.
$$
Därmed utgör $\mathcal F$ en ON-bas. Vi behöver skriva $T(\mathbf f_1)$ och $T(\mathbf f_2)$ i basen $\mathcal F$. Vi har
$$
T(\mathbf f_1)=\frac1{25}
\begin{pmatrix}16&-12\\-12&9\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}3/5\\4/5\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix},
$$
så koordinaterna för $T(\mathbf f_1)$ är $(0,0)$. Vidare
$$
T(\mathbf f_2)=\frac1{25}
\begin{pmatrix}16&-12\\-12&9\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}-4/5\\3/5\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}-4/5\\3/5\end{pmatrix}
=\mathbf f_2,
$$
så koordinaterna är $(0,1)$. Matrisen för $T$ relativt basen $\mathcal F$ är därför
$$
\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}.
$$
Detta är matrisen för projektionen på linjen genom origo med riktningsvektor $\mathbf f_2$. Svar: ON-bas enligt ovan; matris $\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}$; projektion på den linjen.