Linjär algebra · 2024-02-10
Låt $T : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ (dvs från planet till planet) vara en funktion.
Ange definitionen av att $T$ är en linjär avbildning.
Bevisa att om $T : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ är en linjär avbildning, då finns det en $2 \times 2$-matris $A$ så att $T(\mathbf{x}) = A\mathbf{x}$ för alla $\mathbf{x} \in \mathbb{R}^2$ (där $\mathbf{x}$ betraktas som en kolonnvektor/kolonnmatris).
(a) Avbildningen $T$ kallas linjär om den uppfyller
$$
T(\mathbf u+\mathbf v)=T(\mathbf u)+T(\mathbf v)
$$
för alla $\mathbf u,\mathbf v\in\mathbb R^2$, och
$$
T(\lambda\mathbf u)=\lambda T(\mathbf u)
$$
för alla $\mathbf u\in\mathbb R^2$ och $\lambda\in\mathbb R$. Alternativt kan detta skrivas
$$
T(a\mathbf u+b\mathbf v)=aT(\mathbf u)+bT(\mathbf v)
$$
för alla $\mathbf u,\mathbf v\in\mathbb R^2$ och $a,b\in\mathbb R$.
(b) Skriv
$$
T(1,0)=\begin{pmatrix}a\\c\end{pmatrix},
\qquad
T(0,1)=\begin{pmatrix}b\\d\end{pmatrix},
\qquad
A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}.
$$
Vi påstår att $T(\mathbf x)=A\mathbf x$ för alla $\mathbf x\in\mathbb R^2$. Skriv $\mathbf x=(x_1,x_2)^T$. Eftersom
$$
(x_1,x_2)=x_1(1,0)+x_2(0,1)
$$
och $T$ är linjär, får vi
$$
T\begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix}
=x_1T\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}
+x_2T\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}
=x_1\begin{pmatrix}a\\c\end{pmatrix}
+x_2\begin{pmatrix}b\\d\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix}.
$$
Detta är precis matrismultiplikation. Eftersom $\mathbf x$ var godtycklig gäller $T(\mathbf x)=A\mathbf x$ för alla $\mathbf x\in\mathbb R^2$.