Linjär algebra · 2024-05-24

Uppgift 2

Uppgift 2

Låt $A$ vara matrisen $ \begin{pmatrix} 40 & 30 & 10 \\ 30 & 20 & 20 \\ 20 & 10 & 0 \\ \end{pmatrix} $. Ge välmotiverade svar på frågorna nedan.

(a)

Vad är determinanten av $A$?

(b)

Är matrisen $A$ inverterbar?

(c)

Finns det mer än en vektor $\vvec$ så att $A\vvec = \ovec$?

(d)

Formulera en sats om allmänna kvadratiska matriser $B$ som ger sambandet mellan determinanten av $B$, inverterbarhet hos $B$ och lösningar till $B\vvec = \ovec$.

Visa lösningDölj lösning

Vi börjar med att bryta ut faktorn 10 ur varje rad: \[ \begin{vmatrix} 40 & 30 & 10 \\ 30 & 20 & 20 \\ 20 & 10 & 0 \\ \end{vmatrix} = 10^3 \begin{vmatrix} 4 & 3 & 1 \\ 3 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 0 \\ \end{vmatrix}. \] Utveckling längs med sista kolonnen ger därefter att determinanten blir \[ 10^3\left( \begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} - 2 \begin{vmatrix} 4 & 3 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} \right) = 10^3 (-1 - 2\cdot (-2)) = 3000. \] Determinanten av matrisen är därmed 3000.
Ja, $A$ är inverterbar eftersom dess determinant är nollskild.
Nej, vi vet enligt sats att ekvationssystemet $A\vvec = \ovec$ har unik lösning om $|A|\neq 0$. Alltså finns det bara en lösning, nämligen nollvektorn.
Satsen kan formuleras som följande: Låt $B$ vara en kvadratisk matris. Då är följande påståenden ekvivalenta:
$|B|\neq 0$,
Matrisen $B$ är inverterbar,
$B \vvec = \ovec$ har unik lösning.