Linjär algebra · 2024-05-24

Uppgift 3

Uppgift 3

(a)

Beräkna skalärprodukten $(1,2,3) \iprod (1,0,1)$.

(b)

Bestäm arean av den parallellogram som spänns upp av vektorerna $(1,2,3)$ och $(1,0,1)$.

(c)

Om $\norm{\wvec}^2=9$, $\norm{\uvec}^2=4$ och $\uvec \iprod \wvec = 4$, bestäm $(2\uvec+\wvec)\iprod (\wvec-\uvec)$.

Notera att $\norm{\vvec}$ betecknar längden av $\vvec$.

Visa lösningDölj lösning

Då alla vektorer ges i ON-bas (om inget annat anges) så har vi att $(1,2,3) \iprod (1,0,1) = 1+3=4$.
Arean av parallellogramet ges av längden av kryssprodukten av vektorerna: \[ (1,2,3) \times (1,0,1) = \begin{vmatrix} \evec_1 & \evec_2 & \evec_3 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 0 & 1 \end{vmatrix} = 2\evec_1 + 2 \evec_2 - 2\evec_3 = (2,2,-2). \] Denna vektor har längd $\sqrt{4+4+4} = 2\sqrt{3}$, som då även är arean som sökes.
Vi har enligt räknelagar för skalärprodukt (och information i uppgiften) att \[\begin{aligned} (2\uvec+\wvec)\iprod (\wvec-\uvec) &= 2 \uvec \iprod \wvec - 2\uvec \iprod \uvec + \wvec\iprod\wvec - \wvec\iprod\uvec \\ &= \uvec \iprod \wvec - 2\norm{\uvec}^2 + \norm{\wvec}^2 \\ &= 4 - 2\cdot 4 + 9 = 5. \end{aligned}\]