Uppgift 4
Låt linjen $L$ i $\setR^3$ ges av $(x,y,z) = (4,7,4) + t(1,2,1)$, $t\in\setR$.
(a)
Finn de två punkterna på $L$ vars avstånd till origo är $9$.
(b)
Finn det plan som innehåller $L$ och som inte skär $z$-axeln. Ange planet på normalform.
Linjär algebra · 2024-05-24
Uppgift 4
Visa lösningDölj lösning
- Man måste lösa $(4+t)^2 + (7+2t)^2 + (4+t)^2 = 9^2$. Detta leder till $81 + 44 t + 6 t^2 = 81$, så $44t+6t^2=0$. Lösningarna ges av $t=0$ samt $t=-44/6 = -22/3$. Detta ger punkterna \[ (4,7,4) \text{ samt } (4,7,4) - \frac{22}{3}(1,2,1) = \frac{1}{3}(-10,-23,-10). \]
- Planet ska innehålla punkten $(4,7,4)$ och dess normal måste vara vinkelrät mot $(1,2,1)$ samt $(0,0,1)$. Normalen kan då fås genom kryssprodukten \[ (1,2,1)\times (0,0,1) = (2,-1,0). \] Planets ekvation på normalform är då $2x-y = D$, där $D=1$ eftersom planet ska innehålla $(4,7,4)$.