Linjär algebra · 2024-05-24

Uppgift 5

Uppgift 5

Låt $T : \setR^3 \to \setR^3$ vara den linjära avbildning som speglar i planet genom origo med normalen $\nvec=(0,2,-1)$.

(a)

Bestäm $T(0,2,-1)$ samt $T(1,0,0)$.

(b)

Bestäm avbildningsmatrisen för $T$ med avseende på standardbasen.

(c)

Bestäm $T(6,4,-2)$.

Visa lösningDölj lösning

Normalvektorn $\nvec=(0,2,-1)$ är vinkelrät mot speglingsplanet och byter därför tecken, medan $(1,0,0)$ ligger i planet och är oförändrad. Alltså \[ T(0,2,-1)=(0,-2,1),\qquad T(1,0,0)=(1,0,0). \]
Spegling i ett plan genom origo med normal $\nvec$ ges av \[ T(\vvec)=\vvec-2\frac{\vvec\iprod\nvec}{\norm{\nvec}^2}\nvec. \] Eftersom $\norm{\nvec}^2=5$ får vi \[ T(x,y,z)=\frac15\left(5x,-3y+4z,4y+3z\right). \] Avbildningsmatrisen i standardbasen är därför \[ \frac15\begin{pmatrix} 5&0&0\\ 0&-3&4\\ 0&4&3 \end{pmatrix}. \]
Vi sätter in $(x,y,z)=(6,4,-2)$ i formeln ovan: \[ T(6,4,-2)=\frac15(30,-20,10)=(6,-4,2). \]