Linjär algebra · 2024-05-24

Uppgift 6

Uppgift 6

Låt $T : \setR^2 \to \setR^2$ vara en linjär avbildning.

(a)

Definiera begreppet linjär avbildning.

(b)

Visa utifrån definitionen att den nya avbildningen $S :\setR^2 \to \setR^2$ som ges av $S(\vvec) = T(\vvec) + T(T(\vvec))$ också är en linjär avbildning.

(c)

Ge exempel på en linjär avbildning där $T$ är inverterbar, men där motsvarande $S$ inte är inverterbar.

Visa lösningDölj lösning

En avbildning $T: \setR^2 \to \setR^2$ är linjär om vi för alla $\lambda \in \setR$ samt $\uvec,\vvec \in \setR^2$ har att \[ T(\uvec+\vvec) = T(\uvec) + T(\vvec) \text{ och } T(\lambda\uvec) = \lambda T(\uvec). \]
Vi har att \[\begin{aligned} S(\uvec+\vvec) &= T(\uvec+\vvec) + T(T(\uvec+\vvec)) \\ &= T(\uvec) + T(\vvec) + T( T(\uvec) + T(\vvec) ) \\ &= T(\uvec) + T(\vvec) + T(T(\uvec)) + T(T(\vvec)) \\ &= T(\uvec) + T(T(\uvec)) + T(\vvec) + T(T(\vvec)) \\ &= S(\uvec) + S(\vvec). \end{aligned}\] Vidare, \[\begin{aligned} S(\lambda\uvec) &= T(\lambda\uvec) + T(T(\lambda\uvec)) \\ &= \lambda T(\uvec) + T( \lambda T(\uvec)) \\ &= \lambda T(\uvec) + \lambda T( T(\uvec)) \\ &= \lambda ( T(\uvec) + T(T(\uvec))) \\ &= \lambda S(\uvec). \end{aligned}\]
Om $A$ är matrisen för $T$ relativt standardbasen, så ges matrisen för $S$ av $A+A^2 = A(I+A)$. Vi vet att $A$ har invers, så vi måste välja $A$ så att $I+A$ saknar invers. Till exempel kan vi ta avbildningen $A = -I$. Detta motsvarar att \[ T(\vvec) = -\vvec \text{ vilket ger att } S(\vvec) = \ovec \] för alla $\vvec$. Avbildningen $T$ har då invers, men $S$ saknar invers.