Linjär algebra · 2024-08-21

Uppgift 1

Uppgift 1

Låt $\fvec_1 = \frac{1}{5}(3,4)$ och $\fvec_2 = \frac{1}{5}(4,-3)$ vara vektorer i $\setR^2$.

(a)

Visa att $\fvec_1$ och $\fvec_2$ tillsammans utgör en bas för planet.

(b)

Bestäm skalärprodukterna $ (a \fvec_1+b \fvec_2) \iprod \fvec_1$ och $(a \fvec_1+b \fvec_2) \iprod \fvec_2$ där $a$ och $b$ är reella tal.

(c)

Skriv vektorn $\frac{1}{5}(17,6)$ som en linjärkombination av $\fvec_1$ och $\fvec_2$.

Visa lösningDölj lösning

Eftersom vektorerna inte är parallella och är två till antalet, så utgör de en bas. Alternativt kan vi ställa upp dem som kolonner i en determinant och se att determinanten är nollskild.
Vi har att $|\fvec_1|^2 = |\fvec_2|^2=1$ samt $\fvec_1 \iprod \fvec_2 = 0$ (enkel beräkning). Vi noterar att vektorerna utgör en ON-bas. Detta leder till att \[\begin{aligned} (a \fvec_1+b \fvec_2) \iprod \fvec_1 &= a |\fvec_1|^2 + b \fvec_1 \iprod \fvec_2 = a \\ (a \fvec_1+b \fvec_2) \iprod \fvec_2 &= a \fvec_1 \iprod \fvec_2 + b |\fvec_2|^2 = b. \end{aligned}\]
Enligt föregående beräkning har vi att om $\frac{1}{5}(17,6) = a \fvec_1+b \fvec_2$, så är \[\begin{aligned} a &= \frac{1}{5}(17,6) \iprod \fvec_1 = \frac{1}{25}(17\cdot 3+6\cdot 4) =3 \\ b &= \frac{1}{5}(17,6) \iprod \fvec_2 = \frac{1}{25}(17\cdot 4+6\cdot (-3)) =2. \end{aligned}\] Alltså, $\frac{1}{5}(17,6) = 3 \fvec_1 + 2\fvec_2$. Man kan också få fram $a$ och $b$ genom ett linjärt ekvationssystem.