Uppgift 2
Beräkna determinanten nedan (glöm inte att motivera dina steg): \[
\begin{vmatrix}
100 & 200 & 200 & 100 \\
1 & 2 & 3 & 1 \\
1 & 2 & 2 & 2 \\
\frac{2}{100} & \frac{2}{100} & \frac{2}{100} & \frac{1}{100} \\
\end{vmatrix}.
\]
Linjär algebra · 2024-08-21
Uppgift 2
Visa lösningDölj lösning
Vi bryter ut $100$ ur första raden och $1/100$ ur sista raden. Dessa tar ut varandra och determinanen är \[
\begin{vmatrix}
1 & 2 & 2 & 1 \\
1 & 2 & 3 & 1 \\
1 & 2 & 2 & 2 \\
2 & 2 & 2 & 1 \\
\end{vmatrix}
=
\begin{vmatrix}
1 & 2 & 2 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
1 & 0 & 0 & 0 \\
\end{vmatrix}.
\] I andra steget ovan subtraherades första raden från de tre andra. Efter utveckling längs med sista raden, får vi kvar \[
(-1)\cdot
\begin{vmatrix}
2 & 2 & 1 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
\end{vmatrix}.
\] Matrisen är övertriangulär, så dess determinant är $2\cdot 1 \cdot 1 = 2$. Det slutliga svaret blir då $-2$.