Uppgift 3

Om $A$ är inverterbar, så har vi att $X = A^{-1}B$. Vi börjar med beräkningen för inversen, och hoppas att den existerar. Vi ställer upp och får \[ \left( \begin{array}{rrr|rrr} 1 & 2 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 2 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right) \] Efter gausselimination får man \[ \left( \begin{array}{rrr|rrr} 1 & 0 & 0 & 1 &-1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & \frac12 & 0 &-\frac12 \\ 0 & 0 & 1 & -1& 1 & 0 \end{array} \right) \] så inversen till $A$ finns och det återstår att beräkna $A^{-1}B$. Slutligen, \[ X = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ \frac12 & 0 &-\frac12 \\ -1 & 1 & 0 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ \frac12 & \frac12 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix}. \]