Uppgift 4
Bestäm avståndet mellan linjen $L$: $(10,2,0)+t(1,2,-1)$, $t\in \setR$ och planet $\Pi$ som ges av $
\{(x,y,z) : (x,y,z) = (1,2,-1)r + (1,0,1)s, \; r,s \in \setR\}.
$
Linjär algebra · 2024-08-21
Uppgift 4
Visa lösningDölj lösning
Eftersom riktningsvektorn $(1,2,-1)$ för linjen finns med som en av planets riktningsvektorer, så är planet och linjen parallella. Planets normal fås av kryssprodukten \[
(1,2,-1) \times (1,0,1) = (2,-2,-2)
\] så planet på normalform är $2x-2y-2z=0$. Detta kan även skrivas som $x-y-z=0$. Vi vill nu gå från en punkt på linjen längs med riktningen $\nvec = (1,-1,-1)$ tills vi hamnar i planet. Dvs. vi söker $t$ så att $(10,2,0) + t (1,-1,-1) = (10+t,2-t,-t)$ uppfyller planets ekvation. Insatt i ekvationen får vi \[
(10+t) - (2-t) -(-t) = 0 \iff 3t+8=0 \iff t=-\frac83.
\] Detta ger att längden av vektorn $(-8/3)(1,-1,-1)$ är avståndet vi söker. Vi har att \[
\norm{(-8/3)(1,-1,-1)} = \frac{8}{3}\norm{(1,-1,-1)} = \frac{8\sqrt{3}}{3}.
\]
Alternativt kan man ta en vektor mellan en punkt i planet och en punkt på linjen, och projicera denna på $\nvec$. Längden av projektionen är precis längden som sökes.
Alternativt kan man ta en vektor mellan en punkt i planet och en punkt på linjen, och projicera denna på $\nvec$. Längden av projektionen är precis längden som sökes.