Uppgift 5
Den linjära avbildning $T:\setR^3 \to \setR^3$ ges av den ortogonala projektionen på vektorn $(1,2,-1)$.
(a)
Bestäm $T(1,0,1)$ samt $T(4,8,-4)$.
(b)
Bestäm avbildningsmatrisen för $T$ med avseende på standardbasen.
Linjär algebra · 2024-08-21
Uppgift 5
Visa lösningDölj lösning
- Eftersom $(1,0,1)$ är ortogonal mot $(1,2,-1)$, så har vi att $T(1,0,1)=(0,0,0)$. Eftersom $(4,8,-4)$ är parallell med $(1,2,-1)$, så gäller $T(4,8,-4) = (4,8,-4)$.
- Projektion av $\xvec$ på $\vvec$ ges av \[ \xvec_\vvec = \frac{\xvec \iprod \vvec}{\norm{\vvec}^2}\vvec, \] så \[ T(x,y,z) = \frac{(x,y,z) \iprod (1,2,-1)}{1^2+2^2 + (-1)^2} (1,2,-1) = \frac{x+2y-z}{6} (1,2,-1). \] Vi kan nu lätt beräkna vad vektorerna i standardbasen avbildas på---dessa vektorer blir kolonnerna i avbildningsmatrisen: \[ \frac16 \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 2 & 4 & -2 \\ -1 & -2 & 1 \\ \end{pmatrix}. \]