Linjär algebra · 2024-08-21

Uppgift 6

Uppgift 6

Låt $\uvec_1 = (a,b)$ och $\uvec_2 = (c,d)$ vara vektorer i $\setR^2$. Låt $T:\setR^2\to \setR^2$ vara avbildningen som definieras av $ T(\xvec) = (\xvec \iprod \uvec_1, \xvec \iprod \uvec_2). $

(a)

Bestäm $T(2,3)$.

(b)

Visa att $T$ är en linjär avbildning. Utgå ifrån definitionen för linjär avbildning samt egenskaper för skalärprodukt.

(c)

Avgör vilket krav som ska gälla för $(a,b)$ och $(c,d)$ för att $T$ ska vara inverterbar.

Visa lösningDölj lösning

Vi har att \[ T(2,3) = \left( (2,3)\iprod (a,b), (2,3)\iprod (c,d) \right) = (2a+3b,2c+3d). \]
Först, räkneregler för skalärprodukt ger (för $\uvec,\vvec \in \setR^2$) att \[\begin{aligned} T(\uvec + \vvec) &= \left( (\uvec+\vvec)\iprod (a,b), (\uvec+\vvec)\iprod (c,d) \right) \\ &= \left( \uvec\iprod (a,b) + \vvec\iprod (a,b), \uvec\iprod (c,d) + \vvec\iprod (c,d) \right) \\ &= \left( \uvec\iprod (a,b), \uvec\iprod (c,d) \right) + \left( \vvec\iprod (a,b), \vvec\iprod (c,d) \right) \\ & = T(\uvec) + T(\vvec). \end{aligned}\] Därefter, för $\lambda \in \setR$ har vi att \[\begin{aligned} T(\lambda \uvec ) &= \left( (\lambda \uvec)\iprod (a,b), (\lambda \uvec)\iprod (c,d) \right) \\ &= \left( \lambda (\uvec\iprod (a,b)), \lambda (\uvec\iprod (c,d)) \right) \\ &= \lambda \cdot \left( \uvec\iprod (a,b), \uvec\iprod (c,d) \right) \\ &= \lambda \cdot T(\uvec). \end{aligned}\] Dessa två egenskaper verifierar att $T$ är linjär.
Vi har att $T(1,0) = (a,c)$ och $T(0,1) = (b,d)$, så avbildningsmatrisen för $T$ (i standardbasen) ges av \[ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \\ \end{pmatrix}. \] För att $T$ ska ha invers, måste avbildningsmatrisen ha invers. Detta gäller precis då dess determinant är nollskild, dvs. då $ad-bc \neq 0$.