Uppgift 1

Vi skriver systemet i en utökad matris och använder Gausseliminering:
$$ \left(\begin{array}{ccc|c} 1&a&1&1\\ 2&0&-1&0\\ a&1&1&1 \end{array}\right) \sim \left(\begin{array}{ccc|c} 1&0&-\frac12&0\\ a&1&1&1\\ 1&a&1&1 \end{array}\right) \sim \left(\begin{array}{ccc|c} 1&0&-\frac12&0\\ 0&1&\frac{a+2}{2}&1\\ 0&a&\frac32&1 \end{array}\right) \sim \left(\begin{array}{ccc|c} 1&0&-\frac12&0\\ 0&1&\frac{a+2}{2}&1\\ 0&0&\frac{(a+3)(1-a)}2&1-a \end{array}\right). $$
I det första steget multiplicerade vi rad 2 med $1/2$, bytte plats på rad 1 och rad 2 och bytte sedan plats på rad 2 och rad 3. I det andra steget adderade vi $-a$ gånger rad 1 till rad 2 och $-1$ gånger rad 1 till rad 3. I det tredje steget adderade vi $-a$ gånger rad 2 till rad 3.

Vi delar upp i tre fall.

Om $a=-3$ har vi inga lösningar, eftersom den sista ekvationen blir $0=4$.

Om $a=1$ får vi
$$ \left(\begin{array}{ccc|c} 1&0&-\frac12&0\\ 0&1&\frac32&1\\ 0&0&0&0 \end{array}\right). $$
Variabeln $z$ är fri; sätt $z=t$. Lösningarna är
$$ (x,y,z)=(0,1,0)+t\left(\frac12,-\frac32,1\right),\qquad t\in\mathbb R. $$

Om $a\ne1$ och $a\ne-3$ eliminerar vi den tredje kolumnens koefficienter och får
$$ \left(\begin{array}{ccc|c} 1&0&0&\frac1{a+3}\\ 0&1&0&\frac1{a+3}\\ 0&0&1&\frac2{a+3} \end{array}\right). $$
Den unika lösningen är därför
$$ (x,y,z)=\left(\frac1{a+3},\frac1{a+3},\frac2{a+3}\right). $$