Linjär algebra · 2025-01-09
Bestäm planet (på normalform) som innehåller linjen $\ell : \{(1+t, 1, 1-t) : t \in \mathbb{R}\}$ och punkten $P = (2, -2, 1)$.
Bestäm ett plan (på normalform) som är ortogonalt mot linjen $\ell : \{(1+t, 1, 1-t) : t \in \mathbb{R}\}$ och som har avstånd $\sqrt{2}$ från punkten $P = (2, -2, 1)$.
(a) Punkten $Q=(1,1,1)$ ligger på linjen $\ell$ och linjens riktningsvektor är $\mathbf v=(1,0,-1)$. Vektorn $\overrightarrow{QP}=(1,-3,0)$ ligger i planet. Därför är
$$
\mathbf v\times\overrightarrow{QP}
=\begin{vmatrix}\mathbf e_1&\mathbf e_2&\mathbf e_3\\1&0&-1\\1&-3&0\end{vmatrix}
=(-3,-1,-3)
$$
en normalvektor. Planet har alltså formen $-3x-y-3z+D=0$. Eftersom $P$ ligger i planet får vi $-6+2-3+D=0$, så planets ekvation är
$$
-3x-y-3z+7=0.
$$
(b) Eftersom planet är ortogonalt mot $\ell$ är $\mathbf v=(1,0,-1)$ också en normalvektor till planet. Planet kan skrivas $x-z+D=0$. En punkt $Q$ på planet närmast $P=(2,-2,1)$ ligger på linjen genom $P$ parallell med $\mathbf v$ och har avstånd $\sqrt{2}$. Alltså är
$$
Q=P\pm\sqrt{2}\frac{\mathbf v}{\lVert\mathbf v\rVert}
=(2,-2,1)\pm2\frac{(1,0,-1)}{\sqrt2},
$$
det vill säga $Q=(3,-2,0)$ eller $Q=(1,-2,2)$. Villkoret att $Q$ ligger i planet ger $D=-3$ respektive $D=1$. Planen är därför
$$
x-z-3=0\qquad\text{eller}\qquad x-z+1=0.
$$