Linjär algebra · 2025-01-09
Betrakta följande linjära avbildningar från $\mathbb{R}^3$ till $\mathbb{R}^3$:
Bestäm avbildningsmatriserna för $S$ och $P$ i standardbasen, samt för den sammansatta avbildningen $T$ som först utför $S$ på en vektor och sedan utför $P$ på resultatet.
En riktningsvektor till linjen $\ell$ är $\mathbf v=(1,0,-1)$. Reflektionen i denna linje ges av
$$
S(x,y,z)=2\operatorname{proj}_{\mathbf v}(x,y,z)-(x,y,z)
=(-z,-y,-x).
$$
Alltså är
$$
A_S=\begin{pmatrix}0&0&-1\\0&-1&0\\-1&0&0\end{pmatrix}.
$$
En normalvektor till planet $x+2y+z=0$ är $\mathbf u=(1,2,1)$. Projektionen på planet är
$$
P(x,y,z)=(x,y,z)-\operatorname{proj}_{\mathbf u}(x,y,z)
=\frac16(5x-2y-z,\,-2x+2y-2z,\,-x-2y+5z).
$$
Därför är
$$
A_P=\frac16\begin{pmatrix}5&-2&-1\\-2&2&-2\\-1&-2&5\end{pmatrix}.
$$
Sammansättningen $T=P\circ S$ har matris
$$
A_T=A_PA_S=\frac16\begin{pmatrix}1&2&-5\\2&-2&2\\-5&2&1\end{pmatrix}.
$$