(a) Eftersom $\mathbf v_1,\mathbf v_2,\mathbf v_3$ är en bas kan varje $\mathbf v\in\mathbb R^3$ skrivas entydigt som
$$
\mathbf v=\lambda_1\mathbf v_1+\lambda_2\mathbf v_2+\lambda_3\mathbf v_3.
$$
En linjär avbildning måste därför uppfylla
$$
T(\mathbf v)=\lambda_1T(\mathbf v_1)+\lambda_2T(\mathbf v_2)+\lambda_3T(\mathbf v_3).
$$
Om $T(\mathbf v_i)=\mathbf u_i$ för $i=1,2,3$ finns precis en möjlighet, nämligen
$$
T(\mathbf v)=\lambda_1\mathbf u_1+\lambda_2\mathbf u_2+\lambda_3\mathbf u_3.
$$
Detta definierar den unika linjära avbildningen.
(b) Sätt $\mathbf v_1=(1,1,2)$, $\mathbf v_2=(1,-1,0)$ och $\mathbf v_3=(0,0,1)$. Om
$$
\lambda_1\mathbf v_1+\lambda_2\mathbf v_2+\lambda_3\mathbf v_3=\mathbf0
$$
får vi
$$
(\lambda_1+\lambda_2,\lambda_1-\lambda_2,2\lambda_1+\lambda_3)=(0,0,0).
$$
Alltså gäller $\lambda_1+\lambda_2=0$, $\lambda_1-\lambda_2=0$ och $2\lambda_1+\lambda_3=0$, vilket ger $\lambda_1=\lambda_2=\lambda_3=0$. Vektorerna utgör därför en bas $V$ för $\mathbb R^3$.
Vi har $(2,0,2)=\mathbf v_1+\mathbf v_2$ och $(-1,3,1)=\mathbf v_1-2\mathbf v_2-\mathbf v_3$. Definiera den (unika från del (a)) linjära avbildningen genom
$$
T(\mathbf v_1)=\mathbf v_1+\mathbf v_2,\qquad
T(\mathbf v_2)=\mathbf v_1-2\mathbf v_2-\mathbf v_3,\qquad
T(\mathbf v_3)=\mathbf v_3.
$$
Avbildningsmatrisen i basen $V$ är
$$
A=\begin{pmatrix}1&1&0\\1&-2&0\\0&-1&1\end{pmatrix}.
$$
Eftersom $\det(A)=-3\ne0$ är $A$ och därmed $T$ inverterbar.