MM2001 · Tidigare tentor

Linjär algebra · 2025-02-15

Uppgift 2

Hela tentan
Jonas Bergström Skalärprodukter och ortogonalitetLinjära ekvationssystemVektorrum och baserBevis
Uppgift 2

Låt $\mathbf{v}_1 = (1, 3, 1)$ och $\mathbf{v}_2 = (1, -1, 1)$ vara vektorer i $\mathbb{R}^3$.

(a)

Visa att $\mathbf{v}_1$, $\mathbf{v}_2$ är linjärt oberoende.

(b)

Beräkna en vektor i $\mathbb{R}^3$ som är ortogonal mot både $\mathbf{v}_1$ och $\mathbf{v}_2$.

(c)

Hitta reella tal $a$, $b$ sådana att $a\mathbf{v}_1 + b\mathbf{v}_2 = (2, 0, 1)$, eller visa att det inte är möjligt.

(d)

Hitta reella tal $c$, $d$ sådana att $c\mathbf{v}_1 + d\mathbf{v}_2 = (-1, 3, -1)$, eller visa att det inte är möjligt.

Visa lösningDölj lösning

(a) Betrakta ekvationen
$$ \lambda_1(1,3,1)+\lambda_2(1,-1,1) =(\lambda_1+\lambda_2,3\lambda_1-\lambda_2,\lambda_1+\lambda_2) =(0,0,0). $$
Detta ger $\lambda_1+\lambda_2=0$ och $3\lambda_1-\lambda_2=0$. Därför är $\lambda_1=\lambda_2=0$, så vektorerna är linjärt oberoende.

(b) Kryssprodukten är ortogonal mot båda:
$$ (1,3,1)\times(1,-1,1) =\left( \begin{vmatrix}3&1\\-1&1\end{vmatrix}, -\begin{vmatrix}1&1\\1&1\end{vmatrix}, \begin{vmatrix}1&3\\1&-1\end{vmatrix} \right) =(4,0,-4). $$

(c) Ekvationen
$$ a(1,3,1)+b(1,-1,1)=(a+b,3a-b,a+b)=(2,0,1) $$
kräver både $a+b=2$ och $a+b=1$, vilket är omöjligt.

(d) Ekvationen
$$ c(1,3,1)+d(1,-1,1)=(c+d,3c-d,c+d)=(-1,3,-1) $$
är ekvivalent med $c+d=-1$ och $3c-d=3$. Den första ekvationen ger $d=-1-c$, vilket insatt i den andra ger $4c=2$. Alltså är $c=1/2$ och $d=-3/2$ den unika lösningen.

Figur