Linjär algebra · 2025-02-15
Låt två linjer i $\mathbb{R}^3$ definieras genom $\ell_1 = \{(1, 0, 2) + (s, 0, -s) : s \in \mathbb{R}\}$ och $\ell_2 = \{(-1, 0, 1) + (3t, t, -2t) : t \in \mathbb{R}\}$. Beräkna minsta avståndet mellan linjerna, och hitta de två punkter på linjerna som ligger närmast varandra.
Låt
$$
\ell_1=\{(1,0,2)+s(1,0,-1):s\in\mathbb R\},\qquad
\ell_2=\{(-1,0,1)+t(3,1,-2):t\in\mathbb R\}.
$$
Låt $P_1=(1+s_0,0,2-s_0)$ och $P_2=(-1+3t_0,t_0,1-2t_0)$ vara de närmaste punkterna. Vektorn
$$
\overrightarrow{P_2P_1}=(2+s_0-3t_0,-t_0,1-s_0+2t_0)
$$
är ortogonal mot riktningsvektorerna $\mathbf v_1=(1,0,-1)$ och $\mathbf v_2=(3,1,-2)$. Därför
$$
\overrightarrow{P_2P_1}\cdot\mathbf v_1=1+2s_0-5t_0=0,
$$
och
$$
\overrightarrow{P_2P_1}\cdot\mathbf v_2=4+5s_0-14t_0=0.
$$
Detta system ger $s_0=2$ och $t_0=1$. Alltså är
$$
P_1=(3,0,0),\qquad P_2=(2,1,-1),
$$
och avståndet är
$$
\lVert\overrightarrow{P_2P_1}\rVert=\lVert(1,-1,1)\rVert=\sqrt3.
$$