Linjär algebra · 2025-02-15
Betrakta följande linjära avbildningar från $\mathbb{R}^3$ till $\mathbb{R}^3$:
Bestäm avbildningsmatriserna för $S$ och $P$ i standardbasen, samt för den sammansatta avbildningen $T$ som först utför $S$ på en vektor och sedan utför $P$ på resultatet.
En normalvektor till planet $x+y=0$ är $\mathbf v=(1,1,0)$. Reflektionen är
$$
S(x,y,z)=(x,y,z)-2\operatorname{proj}_{\mathbf v}(x,y,z)
=(x,y,z)-(x+y,x+y,0)
=(-y,-x,z),
$$
så
$$
A_S=\begin{pmatrix}0&-1&0\\-1&0&0\\0&0&1\end{pmatrix}.
$$
En riktningsvektor till linjen är $\mathbf u=(1,0,-1)$. Projektionen på linjen är
$$
P(x,y,z)=\operatorname{proj}_{\mathbf u}(x,y,z)
=\frac{x-z}{2}(1,0,-1)
=\frac12(x-z,0,z-x),
$$
och därför
$$
A_P=\frac12\begin{pmatrix}1&0&-1\\0&0&0\\-1&0&1\end{pmatrix}.
$$
Sammansättningen $T=P\circ S$ har matris
$$
A_T=A_PA_S=\frac12\begin{pmatrix}0&-1&-1\\0&0&0\\0&1&1\end{pmatrix}.
$$