Linjär algebra · 2025-02-15

Uppgift 5

Uppgift 5

(a)

Låt $\lambda$ vara ett reellt tal och definiera den linjära avbildningen $T$, från $\mathbb{R}^2$ till $\mathbb{R}^2$, genom $T(\mathbf{v}) = \lambda\mathbf{v}$ för alla $\mathbf{v}$ i $\mathbb{R}^2$. Visa att avbildningsmatrisen till $T$ är densamma oberoende av bas.

(b)

Antag att $T$ är en linjär avbildning från $\mathbb{R}^2$ till $\mathbb{R}^2$, vars avbildningsmatris är densamma oberoende av bas. Visa att det då finns ett reellt tal $\lambda$ sådant att $T(\mathbf{v}) = \lambda\mathbf{v}$ för alla $\mathbf{v}$ i $\mathbb{R}^2$. Tips: Börja med avbildningsmatrisen till $T$ i en bas, och experimentera sedan med enkla konkreta basbyten.

Visa lösningDölj lösning

(a) Tag en godtycklig bas $\mathbf v_1,\mathbf v_2$ för $\mathbb R^2$. Eftersom $T(\mathbf v)=\lambda\mathbf v$ får vi
$$ T(\mathbf v_1)=\lambda\mathbf v_1,\qquad T(\mathbf v_2)=\lambda\mathbf v_2. $$
Avbildningsmatrisen i denna bas är alltså
$$ \begin{pmatrix}\lambda&0\\0&\lambda\end{pmatrix}. $$
Eftersom basen var godtycklig är matrisen densamma i varje bas.

(b) Tag en godtycklig bas $V=(\mathbf v_1,\mathbf v_2)$ och skriv
$$ A_V=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}. $$
Byt till basen $W=(\mathbf v_1,-\mathbf v_2)$. Basbytesmatrisen är
$$ B=\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}, $$
och matrisen i den nya basen är
$$ A_W=B^{-1}A_VB =\begin{pmatrix}a&-b\\-c&d\end{pmatrix}. $$
Eftersom matrisen är oberoende av bas måste $A_V=A_W$, så $b=c=0$.

Byt nu till basen $U=(\mathbf v_2,\mathbf v_1)$, med basbytesmatris
$$ C=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}. $$
Då är
$$ A_U=C^{-1}A_VC=\begin{pmatrix}d&0\\0&a\end{pmatrix}. $$
Oberoendet av bas ger $a=d$. Alltså
$$ A_V=\begin{pmatrix}a&0\\0&a\end{pmatrix}. $$
För en godtycklig vektor $\mathbf v$ gäller då $[T(\mathbf v)]_V=A_V[\mathbf v]_V=a[\mathbf v]_V$, och därmed $T(\mathbf v)=a\mathbf v$.