Linjär algebra · 2025-05-28

Uppgift 1

Uppgift 1

Låt $\fvec_1 = \frac{1}{13}(5,12)$ vara en vektor i $\setR^2$.

(a)

Bestäm en vektor $\fvec_2$ så att $\fvec_1$ och $\fvec_2$ är vinkelräta, och så att $\norm{\fvec_2}=1$.

(b)

Bestäm den vinkelräta projektionen av vektorn $\vvec=(7,-3)$ på $\fvec_1$.

(c)

Visa att $ \vvec = (\fvec_1 \cdot \vvec) \fvec_1 + (\fvec_2 \cdot \vvec) \fvec_2. $

Visa lösningDölj lösning

T.ex $\fvec_2 = \frac{1}{13}(12,-5)$.
Vi har att projektionen ges av \[ \frac{\vvec \cdot \fvec_1}{\norm{\fvec_1}^2} \fvec_1 = \frac{1}{13}(7,-3)\cdot(5,12) \fvec_1 = -\frac{1}{13}\fvec_1. \]
Detta gäller enligt sats från kursen, eftersom $\fvec_1,\fvec_2$ är en ON-bas (lätt att kolla).

Alternativt så beräknar man de två skalärprodukterna och jämför.

Som tredje alternativ: Man kan rita en figur och använda sig av egenskaper för ortogonal projektion---dvs. eftersom $\fvec_1$ och $\fvec_2$ är vinkelräta, så är $\vvec$ summan av sina projektioner på $\fvec_1$ och $\fvec_2$.