Uppgift 3
Punkterna $P_1=(2,0,1)$, $P_2=(2,3,a)$, $P_3=(0,-3a,1)$ och $P_4=(2,3,a-1)$ utgör hörnen i en tetraeder i $\setR^3$, för $a \in \setR$. Bestäm volymen av tetraedern.
Linjär algebra · 2025-05-28
Uppgift 3
Visa lösningDölj lösning
Vi bildar tre vektorer som utgår från $P_1$: \[
\vec{P_1P_2} = (0,3,a-1), \; \vec{P_1P_3} = (-2,-3a,0), \; \vec{P_1P_4} = (0,3,a-2).
\] Volymen (upp till tecken) av tetraedern ges nu av $\tfrac16$ av determinanten av den matris vars kolonner är dessa tre vektorer. Vi beräknar determinanten genom utveckling längs med första raden: \[
\begin{vmatrix}
0 & -2 & 0 \\
3 & -3a & 3 \\
a-1 & 0 & a-2 \\
\end{vmatrix}
= -(-2)
\begin{vmatrix}
3 & 3 \\ a-1 & a-2
\end{vmatrix}
= 2 (3(a-2)-3(a-1)) = -6.
\] Alltså har tetraedern volymen $1$, oberoende av $a$'s värde.