Linjär algebra · 2025-05-28

Uppgift 4

Uppgift 4

Två linjer i $\setR^3$ ges på parameterform: \[ L_1 : (4,-3,8) + t(2,3,-3),\; t\in \setR, \qquad L_2 : (2,2,3) + s(1,1,-2),\; s \in \setR. \]

(a)

Bestäm kortaste avståndet mellan linjerna.

(b)

Bestäm det plan som innehåller origo men ej skär $L_1$ eller $L_2$ på normalform.

Visa lösningDölj lösning

Låt punkterna $P$ och $Q$ ligga på $L_1$ och $L_2$, respektive. Kortaste avståndet sker då vektorn $PQ$ är vinkelrät mot $(2,3,-3)$ samt $(1,1,-2)$. Vi har \[\begin{aligned} PQ &= (2,2,3) + s(1,1,-2) - (4,-3,8) - t(2,3,-3) \\ &= (-2+s-2t,5+s-3t,-5-2s+3t). \end{aligned}\] Vi vill nu att \[ \begin{cases} (-2+s-2t,5+s-3t,-5-2s+3t)\cdot (2,3,-3) &= 0\\ (-2+s-2t,5+s-3t,-5-2s+3t)\cdot (1,1,-2) &= 0. \end{cases} \] Vi får då \[ \begin{cases} 26 + 11 s - 22 t &=0 \\ 13 + 6 s - 11 t &=0 \end{cases} \implies \begin{cases} 26 + 11 s - 22 t &=0 \\ 26+ 12 s - 22 t &=0 \end{cases} \implies s=0,\quad t=\frac{13}{11}. \] Vektorn $PQ$ blir då $\frac{16}{11}(-3,1,-1)$ som har längden $\frac{16\sqrt{11}}{11}$.
Vi vet att vektorn $PQ$ är vinkelrät mot båda linjernas riktningsvektorer, så detta är planets normal. Alltså kan vi ta ekvationen $-3x+y-z=0$ för planet.