Uppgift 2
Visa att om
$$ A=\begin{pmatrix}2 & 1\\1 & 2\end{pmatrix} $$
så är
$$ A^n=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}3^n+1 & 3^n-1\\3^n-1 & 3^n+1\end{pmatrix}. $$
Hela algebra · 2007-01-15
Uppgift 2
Visa lösningDölj lösning
För $n=1$ är formeln riktig. Antag att $$A^k=\frac12\begin{pmatrix}3^k+1&3^k-1\\3^k-1&3^k+1\end{pmatrix}.$$ Då ger multiplikation med $A$ att $$A^{k+1}=\frac12\begin{pmatrix}3^{k+1}+1&3^{k+1}-1\\3^{k+1}-1&3^{k+1}+1\end{pmatrix}.$$ Formeln följer för alla $n\ge1$ genom induktion.