Uppgift 1
För vilka reella tal $x$ gäller olikheten $\frac{x-1}{x-2}>\frac{x-3}{x-4}$?
MM2001 · Hela algebra
Tenta 2007-01-15
#Uppgift 1
Visa lösningDölj lösning
$$\frac{x-1}{x-2}-\frac{x-3}{x-4}=\frac{-2}{(x-2)(x-4)}.$$ Olikheten är därför ekvivalent med $(x-2)(x-4)<0$, vilket ger $2<x<4$.
#Uppgift 2
Uppgift 2
Visa att om
$$ A=\begin{pmatrix}2 & 1\\1 & 2\end{pmatrix} $$
så är
$$ A^n=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}3^n+1 & 3^n-1\\3^n-1 & 3^n+1\end{pmatrix}. $$
Visa lösningDölj lösning
För $n=1$ är formeln riktig. Antag att $$A^k=\frac12\begin{pmatrix}3^k+1&3^k-1\\3^k-1&3^k+1\end{pmatrix}.$$ Då ger multiplikation med $A$ att $$A^{k+1}=\frac12\begin{pmatrix}3^{k+1}+1&3^{k+1}-1\\3^{k+1}-1&3^{k+1}+1\end{pmatrix}.$$ Formeln följer för alla $n\ge1$ genom induktion.
#Uppgift 3
Uppgift 3
För vilka $a$ är vektorerna $(a,3,6)$, $(1,a,-2)$ och $(0,-1,2)$ linjärt beroende?
Visa lösningDölj lösning
Vektorerna är linjärt beroende precis när $$\det\begin{pmatrix}a&3&6\\1&a&-2\\0&-1&2\end{pmatrix}=2(a-3)(a+2)=0.$$ Alltså är $a=3$ eller $a=-2$.
#Uppgift 4
Uppgift 4
I ett ON-system har punkten $A$ koordinaterna $(5,1,1)$ och punkten $B$ koordinaterna $(-1,3,-1)$. Planet $\Pi$ går genom $B$ och har normalvektorn $\mathbf{N}=(1,2,2)$. Bestäm (kortaste) avståndet mellan mittpunkten på sträckan $AB$ och planet $\Pi$.
Visa lösningDölj lösning
Mittpunkten är $M=(2,2,0)$, så $\overrightarrow{BM}=(3,-1,1)$. Avståndet från $M$ till planet blir $$\frac{|\overrightarrow{BM}\cdot(1,2,2)|}{\sqrt{1^2+2^2+2^2}}=\frac{|3-2+2|}{3}=1.$$
#Uppgift 5
Uppgift 5
I triangeln $ABC$ är $D$ den punkt på sidan $AB$ för vilken $\lvert BD\rvert=4\lvert AD\rvert$, och $E$ är den punkt på sidan $BC$ för vilken $\lvert CE\rvert=4\lvert BE\rvert$. Låt $F$ vara skärningspunkten mellan $DE$ och medianen från $B$. Sätt $\overrightarrow{AB}=\mathbf{u}$ och $\overrightarrow{AC}=\mathbf{v}$. Uttryck $\overrightarrow{BE}$ och $\overrightarrow{BF}$ i $\mathbf{u}$ och $\mathbf{v}$. Visa också att triangeln $BEF$ alltid upptar samma andel av triangeln $ABC$:s area, och ange denna andel.
Visa lösningDölj lösning
Eftersom $\overrightarrow{BC}=-\mathbf u+\mathbf v$ fås $$\overrightarrow{BE}=\frac15(-\mathbf u+\mathbf v).$$ Låt $G$ vara mittpunkten på $AC$, och skriv $\overrightarrow{BF}=\alpha\overrightarrow{BG}$ samt $\overrightarrow{DF}=\beta\overrightarrow{DE}$. Jämförelse av koefficienterna till $\mathbf u$ och $\mathbf v$ ger $\alpha=\frac8{25}$ och $\beta=\frac45$, alltså $$\overrightarrow{BF}=-\frac8{25}\mathbf u+\frac4{25}\mathbf v.$$ Vidare är $$\overrightarrow{BE}\times\overrightarrow{BF}=\frac4{125}\mathbf u\times\mathbf v.$$ Därmed är $A_{BEF}=\frac4{125}A_{ABC}$.
#Uppgift 6
Uppgift 6
(a)
Låt skärningspunkten mellan linjen $\ell\colon(x,y,z)=(t,t,t)$ och planet $\Pi\colon x+y+z=1$ vara $P$, skärningspunkterna mellan $\Pi$ och $x$-, $y$-, respektive $z$-axeln vara $A$, $B$ respektive $C$. Bestäm vinklarna mellan $PA$, $PB$, $PC$ (ON-system).
(b)
Bestäm matrisen för rotation $2\pi/3$ i valfri riktning kring linjen $(x,y,z)=(t,t,t)$. Bestäm också matrisen för inversen till denna avbildning (ON-system). (Ledning: Använd t ex deluppgift a).)
Visa lösningDölj lösning
a) Här är $P=(1/3,1/3,1/3)$. Exempelvis är $\overrightarrow{PA}=(2/3,-1/3,-1/3)$ och $\overrightarrow{PB}=(-1/3,2/3,-1/3)$. Deras skalärprodukt är $-1/3$ och båda längderna är $\sqrt{2/3}$, så $\cos\angle APB=-1/2$. Symmetri ger alla tre vinklarna $2\pi/3$.
b) En rotation med vinkel $2\pi/3$ kring linjen $(t,t,t)$ kan väljas så att $\mathbf e_1\mapsto\mathbf e_2\mapsto\mathbf e_3\mapsto\mathbf e_1$. Dess matris och inversens matris är då $$\begin{pmatrix}0&0&1\\1&0&0\\0&1&0\end{pmatrix},\qquad\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\1&0&0\end{pmatrix}.$$