Hela algebra · 2007-01-15
Låt skärningspunkten mellan linjen $\ell\colon(x,y,z)=(t,t,t)$ och planet $\Pi\colon x+y+z=1$ vara $P$, skärningspunkterna mellan $\Pi$ och $x$-, $y$-, respektive $z$-axeln vara $A$, $B$ respektive $C$. Bestäm vinklarna mellan $PA$, $PB$, $PC$ (ON-system).
Bestäm matrisen för rotation $2\pi/3$ i valfri riktning kring linjen $(x,y,z)=(t,t,t)$. Bestäm också matrisen för inversen till denna avbildning (ON-system). (Ledning: Använd t ex deluppgift a).)
a) Här är $P=(1/3,1/3,1/3)$. Exempelvis är $\overrightarrow{PA}=(2/3,-1/3,-1/3)$ och $\overrightarrow{PB}=(-1/3,2/3,-1/3)$. Deras skalärprodukt är $-1/3$ och båda längderna är $\sqrt{2/3}$, så $\cos\angle APB=-1/2$. Symmetri ger alla tre vinklarna $2\pi/3$.
b) En rotation med vinkel $2\pi/3$ kring linjen $(t,t,t)$ kan väljas så att $\mathbf e_1\mapsto\mathbf e_2\mapsto\mathbf e_3\mapsto\mathbf e_1$. Dess matris och inversens matris är då $$\begin{pmatrix}0&0&1\\1&0&0\\0&1&0\end{pmatrix},\qquad\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\1&0&0\end{pmatrix}.$$