Hela algebra · 2007-01-15

Uppgift 5

Yishao Zhou Analytisk geometri Konstruktion

Uppgift 5

I triangeln $ABC$ är $D$ den punkt på sidan $AB$ för vilken $\lvert BD\rvert=4\lvert AD\rvert$, och $E$ är den punkt på sidan $BC$ för vilken $\lvert CE\rvert=4\lvert BE\rvert$. Låt $F$ vara skärningspunkten mellan $DE$ och medianen från $B$. Sätt $\overrightarrow{AB}=\mathbf{u}$ och $\overrightarrow{AC}=\mathbf{v}$. Uttryck $\overrightarrow{BE}$ och $\overrightarrow{BF}$ i $\mathbf{u}$ och $\mathbf{v}$. Visa också att triangeln $BEF$ alltid upptar samma andel av triangeln $ABC$:s area, och ange denna andel.

Visa lösningDölj lösning

Eftersom $\overrightarrow{BC}=-\mathbf u+\mathbf v$ fås $$\overrightarrow{BE}=\frac15(-\mathbf u+\mathbf v).$$ Låt $G$ vara mittpunkten på $AC$, och skriv $\overrightarrow{BF}=\alpha\overrightarrow{BG}$ samt $\overrightarrow{DF}=\beta\overrightarrow{DE}$. Jämförelse av koefficienterna till $\mathbf u$ och $\mathbf v$ ger $\alpha=\frac8{25}$ och $\beta=\frac45$, alltså $$\overrightarrow{BF}=-\frac8{25}\mathbf u+\frac4{25}\mathbf v.$$ Vidare är $$\overrightarrow{BE}\times\overrightarrow{BF}=\frac4{125}\mathbf u\times\mathbf v.$$ Därmed är $A_{BEF}=\frac4{125}A_{ABC}$.