Hela algebra · 2007-08-20
En triangel har två av sina hörn i $(1,0,1)$, $(0,1,1)$, och det tredje på den kurva i rummet som består av alla punkter $(1,1,a^2+1)$, där $a$ är ett reellt tal. Beräkna arean av triangeln som en funktion av $a$, och ange dess minimala värde (Positivt orienterat ON-system).
Sätt $A=(1,0,1)$, $B=(0,1,1)$ och $C=(1,1,a^2+1)$. Då är $\overrightarrow{CA}=(0,-1,-a^2)$ och $\overrightarrow{CB}=(-1,0,-a^2)$, så $$\operatorname{area} =\frac12\lVert\overrightarrow{CA}\times\overrightarrow{CB}\rVert=\frac12\sqrt{2a^4+1}.$$ Minsta värdet är $1/2$, och det fås när $a=0$.