MM2001 · Hela algebra
Rita följande mängder:
$\{x\in\mathbb{R}\mid x^2-3x+2\le0\}\cup\{x\in\mathbb{R}\mid x=\sqrt{x+2}\}$
$\{z\in\mathbb{C}\mid\lvert z+1\rvert\ge2\}$
$\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid xy=1\}$
$\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid x^2+y^2-2x+2y+1=0\}$
(a) Första olikheten ger intervallet $[1,2]$. Ekvationen $x=\sqrt{x+2}$ har, efter kvadrering och kontroll, endast lösningen $x=2$, som redan ligger i intervallet. Unionen är alltså $[1,2]$.
(b) $|z+1|\ge2$ är området på och utanför cirkeln med centrum $(-1,0)$ och radie $2$.
(c) Efter en vridning med $\pi/4$ fås $xy=(x'^2-y'^2)/2$; mängden är därför ett hyperbelpar med centrum i origo och axlar vridna $\pi/4$.
(d) Kvadratkomplettering ger $(x-1)^2+(y+1)^2=1$, alltså en enhetscirkel med centrum $(1,-1)$.
För vilka $a$ är vektorerna $(a,3,6)$, $(1,a,-2)$ och $(0,-1,2)$ linjärt oberoende?
Vektorerna är linjärt oberoende precis när $$\det\begin{pmatrix}a&3&6\\1&a&-2\\0&-1&2\end{pmatrix}=2(a-3)(a+2)\ne0.$$ Alltså gäller detta för $a\ne-2,3$.
En triangel har två av sina hörn i $(1,0,1)$, $(0,1,1)$, och det tredje på den kurva i rummet som består av alla punkter $(1,1,a^2+1)$, där $a$ är ett reellt tal. Beräkna arean av triangeln som en funktion av $a$, och ange dess minimala värde (Positivt orienterat ON-system).
Sätt $A=(1,0,1)$, $B=(0,1,1)$ och $C=(1,1,a^2+1)$. Då är $\overrightarrow{CA}=(0,-1,-a^2)$ och $\overrightarrow{CB}=(-1,0,-a^2)$, så $$\operatorname{area} =\frac12\lVert\overrightarrow{CA}\times\overrightarrow{CB}\rVert=\frac12\sqrt{2a^4+1}.$$ Minsta värdet är $1/2$, och det fås när $a=0$.
Låt $\mathbf{e}_1$, $\mathbf{e}_2$, $\mathbf{e}_3$ vara en given ON-bas i rummet. Definiera en ny bas $\mathbf{f}_1$, $\mathbf{f}_2$, $\mathbf{f}_3$ genom villkoren $\mathbf{f}_1=\frac{1}{3}\mathbf{e}_1-\frac{2}{3}\mathbf{e}_2+\frac{2}{3}\mathbf{e}_3$, $\mathbf{f}_2=\frac{2}{3}\mathbf{e}_1+\frac{2}{3}\mathbf{e}_2+\frac{1}{3}\mathbf{e}_3$, $\mathbf{f}_3=-\frac{2}{3}\mathbf{e}_1+\frac{1}{3}\mathbf{e}_2+\frac{2}{3}\mathbf{e}_3$. Visa att $\mathbf{f}_1$, $\mathbf{f}_2$, $\mathbf{f}_3$ också är en ON-bas. Bestäm koordinaterna för vektorn $\mathbf{u}=3\mathbf{e}_1+3\mathbf{e}_2-8\mathbf{e}_3$ i basen $\mathbf{f}_1$, $\mathbf{f}_2$, $\mathbf{f}_3$.
Direkt beräkning visar att $\lVert\mathbf f_i\rVert=1$ och $\mathbf f_i\cdot\mathbf f_j=0$ för $i\ne j$, alltså är $(\mathbf f_1,\mathbf f_2,\mathbf f_3)$ en ON-bas. Om $T$ har dessa tre vektorer som kolonner i $\mathbf e$-basen, är koordinatvektorn i $\mathbf f$-basen $T^T(3,3,-8)^T$. Därför $$\mathbf u=-\frac{19}{3}\mathbf f_1+\frac43\mathbf f_2-\frac{19}{3}\mathbf f_3.$$
Visa att
$$ \frac{\sin nx}{2\sin\frac{x}{2}}=\operatorname{Re}\left(\frac{1-e^{inx}}{e^{-ix/2}-e^{ix/2}}\right). $$
Bevisa vidare formeln
$$ \cos\frac{x}{2}+\cos\frac{3x}{2}+\dots+\cos\frac{(2n-1)x}{2}=\frac{\sin nx}{2\sin\frac{x}{2}},\qquad n\ge1 $$
med hjälp av induktion.
Eftersom $e^{-ix/2}-e^{ix/2}=-2i\sin(x/2)$ ger Eulers formel direkt den första likheten. För $n=1$ är den andra identiteten $\cos(x/2)=\sin x/(2\sin(x/2))$. Antag att den gäller för $n$. Då $$\sum_{k=1}^{n+1}\cos\frac{(2k-1)x}{2}=\operatorname{Re}\left(\frac{1-e^{inx}}{e^{-ix/2}-e^{ix/2}}+e^{i(2n+1)x/2}\right)=\frac{\sin((n+1)x)}{2\sin(x/2)}.$$ Induktion avslutar beviset.
Låt skärningspunkten mellan linjen $\ell\colon(x,y,z)=(t,t,t)$ och planet $\Pi\colon x+y+z=1$ vara $P$, skärningspunkterna mellan $\Pi$ och $x$-, $y$-, respektive $z$-axeln vara $A$, $B$ respektive $C$. Bestäm vinklarna mellan $PA$, $PB$, $PC$ (ON-system).
Bestäm matrisen för rotation $2\pi/3$ i valfri riktning kring linjen $(x,y,z)=(t,t,t)$. Bestäm också matrisen för inversen till denna avbildning (ON-system). (Ledning: Använd t ex deluppgift a).)
a) Här är $P=(1/3,1/3,1/3)$. Exempelvis är $\overrightarrow{PA}=(2/3,-1/3,-1/3)$ och $\overrightarrow{PB}=(-1/3,2/3,-1/3)$. Deras skalärprodukt är $-1/3$ och båda längderna är $\sqrt{2/3}$, så $\cos\angle APB=-1/2$. Symmetri ger alla tre vinklarna $2\pi/3$.
b) En rotation med vinkel $2\pi/3$ kring linjen $(t,t,t)$ kan väljas så att $\mathbf e_1\mapsto\mathbf e_2\mapsto\mathbf e_3\mapsto\mathbf e_1$. Dess matris och inversens matris är $$\begin{pmatrix}0&0&1\\1&0&0\\0&1&0\end{pmatrix},\qquad\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\1&0&0\end{pmatrix}.$$