Hela algebra · 2007-08-20
Visa att
$$ \frac{\sin nx}{2\sin\frac{x}{2}}=\operatorname{Re}\left(\frac{1-e^{inx}}{e^{-ix/2}-e^{ix/2}}\right). $$
Bevisa vidare formeln
$$ \cos\frac{x}{2}+\cos\frac{3x}{2}+\dots+\cos\frac{(2n-1)x}{2}=\frac{\sin nx}{2\sin\frac{x}{2}},\qquad n\ge1 $$
med hjälp av induktion.
Eftersom $e^{-ix/2}-e^{ix/2}=-2i\sin(x/2)$ ger Eulers formel direkt den första likheten. För $n=1$ är den andra identiteten $\cos(x/2)=\sin x/(2\sin(x/2))$. Antag att den gäller för $n$. Då $$\sum_{k=1}^{n+1}\cos\frac{(2k-1)x}{2}=\operatorname{Re}\left(\frac{1-e^{inx}}{e^{-ix/2}-e^{ix/2}}+e^{i(2n+1)x/2}\right)=\frac{\sin((n+1)x)}{2\sin(x/2)}.$$ Induktion avslutar beviset.